Погода
Календарь
Май 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Сен    
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031  
Страницы сайта

Кодирование чисел. Системы счисления.

ПЕРЕВОД ЧИСЛА ИЗ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ

Чтобы перевести, например, 10045N, из системы счисления с основанием N в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на N в степени, равной разряду этой цифры:

ОСОБЕННОСТИ ПРИ ПЕРЕВОДАХ В РАЗНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Некоторые правила, которые нужно знать, при работе с системами счисления:

  • последняя цифра (крайняя справа) в записи числа в системе счисления с основанием N – представляет собой остаток от деления этого числа на N:
710 = 1112 
7/2 = остаток 1
  • две крайние справа цифры числа в системе счисления с основанием N – это остаток от деления этого числа на , и так далее:
710 = 1112 
112=310
7/22 = остаток 310 (112)
  • десятичное число 10N записывается как единица и Nнулей:
  • тогда как десятичное число 2N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:
  • а десятичное число 3N записывается в троичной системе в виде единицы и N нулей:
  • можно сделать аналогичные выводы для любой системы счисления с основанием aобщее правило:
  • десятичное 10N-1 записывается как N девяток:
  • тогда как десятичное число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:
  • а десятичное число 3N-1 записывается в троичной системе как N двоек:
  • значит есть общее правило: число aN-1 в системе счисления с основанием a записывается как Nстарших цифр этой системы, то есть, цифр (a-1)
  • десятичное число 10N-10M = 10M * (10N-M – 1)записывается как N-M девяток, за которыми стоят Mнулей:
  • тогда как десятичное число 2N – 2K при K < N в двоичной системе записывается как N – K единиц и Kнулей:
  • то есть, существует общее правило:
  • Также следует знать, что верны равенства:

Решение заданий:

Задание 1. Значение арифметического выражения: 98 + 35 – 9 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

Решение:

  1. приведём все слагаемые к виду 3N и расставим в порядке убывания степеней:

98 + 35 – 9 = 316 + 35 – 32

  • первое слагаемое, 316, даёт в троичной записи одну единицу – она нас не интересует
  • пара 35 – 32даёт 5 – 2 = 3 двойки

Ответ: 3.

Задание 2. Сколько единиц в двоичной записи числа 42015 + 8405 – 2150 – 122

Решение 1:

  1. приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 122 = 128 – 4 – 2 = 27 – 22 – 21:

42015 + 8405 – 2150 – 122  = (22)2015 + (23)405 – 2150 – 27 + 22 + 21 =

= 24030 + 21215 – 2150 – 27 + 22 + 21

  • вспомним,  число 2N2K при K<N записывается как N–K единиц и K нулей:
  • для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2N2K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию
  • в нашем случае вы выражении

24030 + 21215 – 2150 – 27 + 22 + 21

стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу

  • используем теперь равенство
  • так что – 2150 = – 2151 + 2150; получаем

24030 + 21215 – 2151+ 2150 – 27 + 22 + 21

здесь две пары 2N2K , а остальные слагаемые дают по одной единице

  • общее число единиц равно 1 + (1215 – 151) + (150 – 7) + 1 + 1 = 1210

Ответ: 1210.

Решение 2:

  1. приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 122 = 128 – 4 – 2 = 27 – 22 – 21:

42015 + 8405 – 2150 – 122  = (22)2015 + (23)405 – 2150 – 27 + 22 + 21 =

= 24030 + 21215 – 2150 – 27 + 22 + 21

  • ищем в разности крайнюю левую степень двойки и крайнюю правую 21215 – 27, при этом 2150 на время «теряем»
  • определяем количество единиц в разности 21215 – 27, получаем 1215 – 7 = 1208 единиц
  • так как «внутри» этой разности есть еще 2150, то просто вычитаем одну единицу: 1208 – 1 = 1207; итого в разности 21215 – 2150 – 27 ровно 1207 единиц
  • осталось прибавить по одной единицы от чисел 24030, 22, 21

Ответ: 1210

Задание 3. Решите уравнение 121х + 1 = 1017. Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

  1. переведём все числа в десятичную систему счисления:
  • собирая всё в одно уравнение получаем
  • это уравнение имеет два решения, 6 и -8; основание системы счисления – натуральное число, поэтому ответ – 6
  • переводим ответ в троичную систему: 6 = 2∙31 = 203.

Ответ: 20.

Задание 4. Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?

Решение:

  1. если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число делится на N нацело
  2. поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на 3 и на 5, то есть, делится на 15

Ответ: 15.

Задание 5. Запись числа 38110 в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N.

Решение:

  1. поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 3, то остаток от деления числа 381 на N равен 3, то есть при некотором целом  k имеем
  • следовательно, основание N – это делитель числа 378 = 2*3*3*3*7
  • с другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть

 Ответ – 18.

Задание 6. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?  

Общий подход:

  • вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием N, из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на N, а две младших цифры – это остаток от деления на N2  и т. д.
  • в данном случае N=4 , остаток от деления числа на
    N2 =16  должен быть равен 114 = 5
  • потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16

Решение 1:

  1. общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: k*16 + 5

где  – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)

  • среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при k = 0 ) и 21 (при k = 1)

Ответ – 5, 21 .

Решение 2:

  1. переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 1214, все интересующие нас числа не больше этого значения
  2. из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два:
    это 114 = 5  и 1114 = 21

Ответ – 5, 21 .

Задание 7. Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором 225x = 405y?
Ответ записать в виде целого числа.

Решение:
Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать cx = xmin = 6.
Для каждого x вычисляем значение 225x = 2 * x2 + 2x + 5 = N и решаем уравнение N = 405y = 4 * y2 + 5, причем нас интересуют только натуральные y > 5

Для x = 6 и x = 7 нужных решений нет, а для x = 8 получаем                    N = 2*82 + 2 * 8 + 5 = 149 = 4 * y2 + 5, так что y = 6

Ответ: y = 8

Задание 8. Значение арифметического выражения: 4910 + 730 – 49 – записали в системе счисления с основанием 7.
Сколько цифр «6» содержится в этой записи?

  • Переведем все числа в 7-ную систему счисления:
    • Для удобства, представим число 49 как 72 , следовательно, 4910 = (72)10 = 720
    • Число 7 в 7-ной системе счисления = 107
    • Перепишем выражение в 7-ной системе счисления:

10720 + 10730 — 1072

  • Результат выражения 10720 + 10730 будет выглядить следующим образом:
  • Из полученного числа вычитаем 1007 . При вычитании будем занимать у ближайшей единицы (20 разряд), при этом на месте единицы останется 0, а на месте нулей (со 2-го по 19 разряд) будет максимальная цифра в данной системе счисления (6):
  • Вывод: количество цифр «6» равно 18

Ответ: 18 

Top