Погода
Календарь
Январь 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Сен    
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031  
Страницы сайта

Кодирование и операции над числами в разных системах счисления.

Системы счисления — это способы представления числовой ин­формации. Они созданы человеком, поэтому относятся к искусствен­ным системам.

В любой системе счисления для представления чисел выбирают не­которые символы — цифры. В результате выполнения операций над цифрами получают числа. Цифры можно сравнить с буквами алфавита (знаками), а числа — со словами, составленными из этих букв и обозна­чающими предмет, понятие и т. д.

Системой счисления называют совокупность символов (цифр) и правил их использования для построения, записи и наименова­ния чисел.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления количественное значение циф­ры числа не зависит от её позиции в записи числа. В позиционной си­стеме счисления вклад каждой цифры в величину числа зависит от её позиции в записи числа.

Основные задачи при изучении систем счисления:

1) перевод числа из одной системы счисления в другую;

2) выполнение арифметических действий в произвольной системе счисления.

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Количество цифр или основание системы: 2.
Цифры (алфавит): 0, 1.

Для моделирования работы электронных устройств компьютеров и других устройств обработки информации применяется наиболее подходящая двоичная система счисления. Это связано с надежностью представления цифр 0 и 1 в электронных устройствах компьютера.

Нули могут стоять как в начале, так и в конце записи числа. Тогда говорят о значащих и незначащих нулях. Незначащие нули при записи чисел, как правило, отбрасываются:

Для двоичных чисел действуют следующие правила сложения:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Запишем несколько первых чисел натурального ряда 10) в двоичнойсистеме счисления 2):

Перевод чисел из 10-й системы счисления в двоичную:

Перевод чисел из 10-й системы счисления в двоичную

Перевод чисел из 2-й системы счисления в 10-ую:

Перевод чисел из 2-й системы счисления в 10-ую

При работе с большими числами, лучше использовать разложение по степеням двойки:

разложение по степеням двойки

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Количество цифр или основание системы: 8.
Цифры (алфавит): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Перевод чисел из 10-й системы счисления в 8-ую.

Перевод чисел из 10-й системы счисления в 8-ую

Перевод чисел из 10-й системы счисления в 8-ую.
Перевод чисел из 8-й системы счисления в 10-ую.

Перевод чисел из 8-й системы счисления в 10-ую

Перевод чисел из 8-й системы счисления в 2-ую и обратно триадами.

Перевод чисел из 8-й системы счисления в 2-ую и обратно триадами

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Количество цифр или основание системы: 16.
Цифры (алфавит): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). 

Перевод чисел из 10-й системы счисления в 16-ую.

Перевод чисел из 10-й системы счисления в 16-ую

Перевод из 16-й системы счисления в 10-ую.

Перевод чисел из 16-й системы счисления в 10-ую

Перевод чисел из 2-й системы счисления в 16-ую и обратно тетрадами.

Перевод чисел из 2-й системы счисления в 16-ую и обратно тетрадами

Примеры решения заданий.

Задание 1. Сколько единиц в шестнадцатеричной записи двоичного числа 1101011012?

Решение: Данное задание легко решить с помощью таблицы триад и тетрад.

Разделяем наше двоичное число по четыре разряда, начиная с правой стороны: 
0001.1010.1101
0001 — 1
1010 — A
1101 — D
Получаем число 1AD16, в котором всего одна единица. Ответ: 1

Задание 2. Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 56F116?

Решение: Данное задание легко решить с помощью таблицы триад и тетрад.

Запишем каждый разряд шестнадцатеричного числа в виде тетрады:

5 — 0101

6 — 0110

F — 1111

1 — 0001

Получается, что 56F116 = 0101 0110 1111 00012. Нам нужно количество единиц в двоичной записи, их 9. Ответ: 9

Задание 3.  Сколько значащих нулей в двоичной записи восьмеричного числа 763458?

Решение: Данное задание легко решить с помощью таблицы триад и тетрад.

Запишем каждый разряд восьмеричного числа в виде триады (выделены жирным в таблице):

7 — 111

6 — 110

3 — 011

4 — 100

5 — 101

Получается что 763458 = 111 110 011 100 1012. Ответ: 5

Задание 4. Даны числа: a = 101002, c = 1616. Какое число B, записанное в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a < B < c?

Решение: Приведем числа a и c к одной системе счисления — двоичной. Воспользуемся таблицей триад и тетрад:

Представим каждый разряд числа 1616 в виде тетрады:

1 — 0001

6 — 0110

Получается, что 1616 = 000101102 = 101102.

Теперь наше неравенство имеет вид 101002 < B < 101102.

Очевидно, что число B = 101012. Ответ: 10101

Задание 5.  Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 257?

Решение: 257 = 256 + 1 = 28 + 1
Два в какой-либо степени в десятичной системе счисления равно единице с количеством нулей после неё, равной этой степени. 1 в десятичной это 1 в двоичной. Получается, что результатом будет: 257 = 1000000002 + 12 = 1000000012

Ответ: 7

Задание 6.  Укажите наименьшее четырёхзначное восьмеричное число, двоичная запись которого содержит ровно пять нулей.

Решение: В восьмеричной системе счисления число должно быть четырехзначным, значит в двоичной системе число должно состоять из четырех триад (одна триада — три разряда):

ххх   ххх   ххх   ххх

Нам нужно наименьшее число, двоичная запись которого содержит пять нулей. Очевидно, что это:                                        001    000    001    111

Обратите внимание, нулей не пять, а семь. Всё потому, что первые два нуля — незначащие, и мы легко можем их убрать:            1 000 001 111

Теперь переведем это число в восьмеричную систему счисления. Воспользуемся таблицей триад:

001 — 1                000 — 0                  001 — 1                   111 — 7

Ответ: 1017

Задание 7.  Укажите наибольшее четырёхзначное восьмеричное число, двоичная запись которого содержит ровно три нуля и девять единиц.

Решение: В восьмеричной системе счисления число должно быть четырехзначным, значит в двоичной системе число должно состоять из четырех триад (одна триада — три разряда):

ххх        ххх         ххх          ххх

Нам нужно наибольшее число, двоичная запись которого содержит три нуля и девять единиц. Очевидно, что для наибольшего числа разряды нужно расставить в порядке убывания (например, 98765 больше 56789):

111     111     111     000

Теперь переведем это число в восьмеричную систему счисления. Воспользуемся таблицей триад:

111 — 7

000 — 0

Ответ: 7770

Задание 8.  Укажите наименьшее пятизначное восьмеричное число, двоичная запись которого содержит ровно шесть единиц.

Решение: В восьмеричной системе счисления число должно быть четырехзначным, значит, в двоичной системе число должно состоять из пяти триад (одна триада — три разряда):

ххх      ххх      ххх      ххх      ххх

Нам нужно наименьшее число, двоичная запись которого содержит шесть единиц. Для получения наименьшего числа двоичная запись должна начинаться с единицы и заканчиваться единицами (например, 1000111 > 1111000).

При этом первая триада может быть любой, кроме 000. Нам нужно наименьшее число, возьмем наименьшую возможную первую триаду:

001 000 000 011 111

Теперь переведем это число в восьмеричную систему счисления. Воспользуемся таблицей триад:

001 — 1

000 — 0

011 — 3

111 — 7

Ответ: 10037

Задание 9.  Сколько единиц в двоичной записи восьмеричного числа 56728?

Решение: Для решения задания переведем число 5672 из восьмеричной системы счисления в двоичную. Можно сделать двумя способами:

1. Перевести в десятичную, затем в двоичную.

2. Перевести сразу в двоичную.

Первый способ достаточно долгий, воспользуемся вторым способом. Чтобы быстро перевести число из восьмеричной системы счисления в двоичную нужна таблица триад:

Каждый разряд восьмеричного числа — это одна триада. То есть число 5672 в двоичной СС будет выглядеть как:

101 110 111 010

Ответ: 8

Задание 10.  Дано десятичное число 7010. Сколько значащих цифр содержит двоичная запись этого числа?

Решение: Воспользуемся правилом: число в степени n в системе счисления, равной этому числу, равно единице с n нулей после неё. То есть, к примеру, 8 = 23 = 10002.

Нам дано число 70. Оно находится между 26 и 27.

26 = 64 =   10000002

27 = 128 = 100000002                     Ответ: 7

Задание 11.  Укажите наименьшее восьмеричное значение N, которое удовлетворяет неравенству 10110002 < N < 10111012.

Решение: Очевидно, что наименьшим N в двоичной системе счисления будет число 1011001. Переведём его в восьмеричную систему счисления.

Разобьем число 1011001 на триады, начиная с крайнего правого разряда:

001 011 001

001 — 1

011 — 3

001 — 1

Ответ: 131

Задание 12.  Чему равна сумма единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа A5F16?

Решение: Запишем каждый разряд шестнадцатеричного числа в виде тетрады:

A — 1010

5 — 0101

F — 1111

Получается, что A5F16 = 1010 0101 11112. Ответ: 8

Задание 13.  Чему равна сумма разрядов восьмеричной записи двоичного числа 10011010012?

Решение:  Разобьем число 1001101001 на триады, начиная с правого разряда:

1 001 101 001

Определим по таблице значение каждой триады:

001 — 1

001 — 1

101 — 5

001 — 1

То есть число 10011010012 = 11518, сумма разрядов которого равна восьми.

Ответ: 8

Задание 14. Шестнадцатеричное число 15F416 записали в виде двоичной записи. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

Решение: Переведём число 15F416 в двоичную систему счисления.

Получается, что число 15F416 в двоичной системе счисления выглядит как

1 0101 1111 0100

Ответ: 5

Задание 15.  Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 12F016?

Решение: Переведём число 12F016 в двоичную систему счисления.

Получается, что число 12F016 в двоичной системе счисления выглядит как

1 0010 1111 0000

Всего запись содержит шесть единиц. Ответ: 6

За­да­ние 16. Сколь­ко зна­ча­щих нулей в дво­ич­ной за­пи­си де­ся­тич­но­го числа 222?

По­яс­не­ние. Пе­ре­ведём 22210 в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния. По­лу­чи­ли: 22210 =110111102. Ответ: 2

За­да­ние 17. Ука­жи­те целое число от 8 до 11, дво­ич­ная за­пись ко­то­ро­го со­дер­жит ровно две еди­ни­цы. Если таких чисел не­сколь­ко, ука­жи­те наи­боль­шее из них.

По­яс­не­ние.Пред­ста­вим все числа в дво­ич­ной си­сте­ме счис­ле­ния:

810 = 10002,910 = 10012,1010 = 10102,1110 = 10112. Ответ: 10

За­да­ние 18. Ука­жи­те наи­мень­шее четырёхзнач­ное шест­на­дца­те­рич­ное число, дво­ич­ная за­пись ко­то­ро­го со­дер­жит ровно 6 нулей. В от­ве­те за­пи­ши­те толь­ко само шест­на­дца­те­рич­ное число, ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния ука­зы­вать не нужно.

По­яс­не­ние.Четырёхзнач­ное, зна­чит, в дво­ич­ной за­пи­си оно не мень­ше 100016 = 10000000000002. Чем стар­ше раз­ряд, тем боль­ше он при­бав­ля­ет к числу. По­это­му нули стоит ста­вить имен­но в стар­шие раз­ря­ды. Итого по­лу­чим 10000001111112= 103F16. Ответ: 103F16

За­да­ние 19. Дано А = A716, B = 2518. Най­ди­те сумму A + B. Ответ ука­жи­те в дво­ич­ной си­сте­ме.

По­яс­не­ние. Пе­ре­ве­дем числа в де­ся­тич­ную си­сте­му счис­ле­ния, вы­пол­ним сло­же­ние, и пе­ре­ве­дем сумму в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния:

A716 = 10⋅16 + 7 = 16710.                                 2518 = 2⋅82 + 5⋅8 + 1 = 16910.

33610 = 1⋅28 + 1⋅26 + 1⋅24 = 1010100002.       Ответ: 1010100002

Также су­ще­ству­ет вто­рой спо­соб:

Пе­ре­ве­дем числа в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния (через три­а­ды и тет­ра­ды).

А2 = 1010 0111, В2 = 010 101 001.

Вы­пол­ним сло­же­ние дво­ич­ных чисел: 10100111 + 10101001 = 101010000.

Ответ: 1010100002

За­да­ние 20. Какое из не­ра­венств вы­пол­ня­ет­ся для чисел А = 1648, В = А316 и С = 22004?

                   1) A<B<C          2) А<С<В             3) В<А<С            4) С<В<А

По­яс­не­ние. Пе­ре­ве­дем числа в де­ся­тич­ную си­сте­му счис­ле­ния и затем срав­ним их: А = 1648 = 1⋅82 + 6⋅81 + 4⋅80 = 64 + 48 + 4 = 11610.

В = A316 = 10⋅161 + З⋅160 = 16310.

С = 22004 = 2⋅43 + 2⋅42 + 0⋅41 + 0⋅40 = 2⋅(64 + 16) = 16010.

По­это­му: А < С < В.  Ответ: 2

За­да­ние 21. Дано: а = 3210, b = 358. Какое из чисел с, за­пи­сан­ных в дво­ич­ной си­сте­ме, от­ве­ча­ет усло­вию b < с < а?

                1) 11 0012                         2) 11 0102                          3) 11 1112                        4) 10 0002

По­яс­не­ние.

Пе­ре­ве­дем числа в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния и затем срав­ним их:

1. 3210=1000002               2. 358=111012

Ответ: 3

За­да­ние 22. Даны 4 целых числа, за­пи­сан­ных в дво­ич­ной си­сте­ме:

10101011;          10011100;              11000111;             10110100.

Сколь­ко среди них чисел, мень­ших, чем BC16?

По­яс­не­ние. За­пи­шем число BC16 в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния, а затем пе­ре­ведём его в дво­ич­ную: BC16 = 11 · 16 + 12 = 18810 = 101111002. Те­перь срав­ним число BC16 = 101111002 с пред­ло­жен­ны­ми чис­ла­ми:

10101011 < 10111100,

10011100 < 10111100,

11000111 > 10111100,

10110100 < 10111100.

Ответ: 3

За­да­ние 23. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-78)?

1) 3            2)  4      3)  5         4) 6

Решение 1:

1. Переводим число 78 в двоичную систему счисления:

      78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 21 = 10011102

2. По условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов

3. Чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

78 = 010011102

4. Делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

010011102     →    101100012

5. Добавляем к результату единицу

101100012  + 1 = 101100102

Это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде. В записи этого числа 4 единицы.Ответ: 2

Решение 2:

1. Переводим число 78 – 1=77 в двоичную систему счисления:

                          77 = 64 + 8 + 4 + 1 = 26 + 23 + 22 + 20 = 10011012

2. По условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов

3. Чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

                          77=010011012

4. Делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

010011012     →    101100102

Это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде. В записи этого числа 4 единицы. Ответ: 2

Надо помнить, что в этом способе в двоичную систему переводится не число a, а число a-1; именно этот прием позволяет избежать добавления единицы в конце (легче вычесть в десятичной системе, чем добавить в двоичной).

За­да­ние 24. Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполнено

неравенство 110111002 < x < DF16?

В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.

Решение: Переведём числа в десятичную систему счисления.

110111002 = 1 × 27 + 1 × 26 + 0 × 25 + 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20 =
= 128 + 64 + 16 + 8 + 4 = 22010

DF16 = 13 × 161 + 15 × 160 = 208 + 15 = 22310

Таким образом наше неравенство примет следующий вид:
220 < x < 223

Следовательно, существует только два натуральных числа, для которых это неравенство верно (221 и 222).

Ответ: 2

Top